We have \begin{equation} \begin{split} 1 - f(x) = 1 - \frac{1}{1 + e^{- x}} & = \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} - \frac{1}{1 + e^{- x}} \\ & = \frac{1 + e^{- x} - 1}{1 + e^{- x}} \\ & = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \\ & = \frac{e^x}{e^x} \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \\ & = \frac{1}{e^x + 1} \\ & = f(-x) \end{split} \end{equation} $\square$